동공대 재료공학 대학원 역학 문제chatgpt한테 풀라고 하니까 딜레이도없이 그냥 다 풀어버림

(1) この系のポテンシャルエネルギーUを表す式は次のようになります。 U = mgh + (1/2)kx^2

ここで、mは質点の質量、hは滑車の高さ、gは重力加速度、kはバネ定数、xは質点の位置を表します。

(2) 滑車の回転の中心周りの慣性モーメントIを表す式は次のようになります。 I = (1/2)Mr^2

ここで、Mは滑車の質量、rは滑車の半径を表します。

(3) 滑車の回転の角速度ωを表す式は次のようになります。 ω = ?̇/r

ここで、?̇は質点の速度を表します。

(4) この系の運動エネルギーTを表す式は次のようになります。 T = (1/2)m?̇^2 + (1/2)M(2rω)^2

また、ラグランジアンLを表す式は次のようになります。 L = T - U = (1/2)m?̇^2 + (1/2)M(2r?̇/r)^2 - (mgh + (1/2)kx^2) = (1/2)(m + 2M)?̇^2 - (mgh + (1/2)kx^2)

ここで、質点と滑車の両方の運動を考慮するために、滑車の運動エネルギーも加えています。

(5) 運動方程式を求めて解くことで、質点の位置xを表す式を得ることができます。 まず、ラグランジュ方程式を次のように立てます。 d/dt(dL/d?̇) - dL/dx = 0

ここで、d/dtは時間に関する偏微分、dL/d?̇はLを?̇で偏微分したものを表します。 これを解くと、次の式が得られます。 (m + 2M)?̈ + kx = 0

ここで、?̈は質点の加速度を表します。 この式を変形して、xを表す式を得ます。 x = A sin(ωt + φ)

ここで、Aとφは積分定数で、ωは角振動数であり、次のようになります。 A = (2mgh/k + ?̇^2/2k)^(1/2) ω = (k/m + 2k/M)^(1/2)