불완전성정리는 간단히 무모순의 공리계로는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 있다는 것과 그 체계내의 무모순성을 증명할 수 없다라는

두가지 결론으로 이루어져 있습니다. 사실 굉장히 유명한 정리지만 괴델의 증명 자체가 굉장히 이해하기 어렵고 그 예도 찾기 어려운 면이

있어서 이번엔 누구나 이해하기 쉽게 설명을 해보려고 합니다. 먼저 모든 증명은 결국 A=A와 같은 공리의 동어반복이라고 볼 수 있습니다.

물론 완벽한 동어반복이라기 보다는 공리의 동어반복적 하위개념이라는 것이죠. 쉬운 물리학적 예시를 들자면 변화가 불연속이라는 공리가

있을 때 그 하위개념으로 증명될 수 있는 것이 바로 빛의 절대속도입니다. 그럼 결국 어떤 공리계에서 증명할 수 없는 명제란 무엇일까요?

그 공리계와 동어반복적 개념이 아니면서 참인 명제여야 합니다. 그렇다면 그 예시는 무엇일까요?

수학에서는 유클리드 공리계와 비유클리드 공리계가 있고 그래서 유클리드 공리계로는 증명할 수 없지만 비유클리드계로는 증명할 수 있는

명제가 있다면 그것이 적절한 예시가 될까요? 사실 비유클리드계로 어떤 명제가 참임을 증명을 했다고 하더라도 그 명제가 유클리드계에서까지

참이란 보장을 할 수가 없습니다. 즉, 유클리드계나 비유클리드계 모두에서 참이어야 불완전성 정리의 적절한 예시가 된다는 것이죠.

그렇다면 결국 가장 적절한 예시는 바로 '시간이 상대적일때 질량이 절대적이다.'란 명제가 상대론에서 참이고 그 대우가 반드시 참이므로

'질량이 상대적일 때 시간이 절대적이다.' 도 참이 되므로 이 예시가 바로 불완전성 정리의 가장 적절한 예시가 됩니다.

즉, 상대론으로는 증명할 수 없지만 분명히 참임이 보장된 명제가 있다는 것이죠. 물론 위의 유클리드와 비유클리드의 예에서도

이런 적절한 예시를 찾을 수 있을지 없을지 모르고 또 저는 생각나는게 없어서 일단 적지 못했습니다.

그런데 위의 예시의 문제는 결국 모순적인 관계를 가지는 명제가 모두 참이 된다는 겁니다.

전통적인 논리학에서는 모순율, 배중률, 동일률등으로 (공리의) 모순을 허용하지 않으므로 둘 중 하나는 반드시 틀려야 하는데

결국 제 설명에서는 이론적으로 둘 다 참이라는 것이 문제라는 것이죠. 그런데 저 대우명제도 결국 전통적인 논리학을 통한 결론입니다.

따라서 이론적으로는 모두 참인 상위체계가 있어야 한다라는 결론이 도출 될 수 있습니다. 그러나 현상적인 하위체계에서는 둘 중 하나만

옳고 말이죠. 결국 어떤 모순을 해결하는 방법은 바로 차원을 높이는 겁니다. 차원을 높임으로써 모순이 각각 참으로 공존할 수 있다는 것이죠.

즉, 불완전성정리의 증명할 수 없지만 참인 명제가 있다는 것의 정확한 의미는 그 공리계의 차원보다 상위계인 차원이 있다는 것이죠.

사실 유클리드계와 비유클리드계는 평행성 공준하나의 차이로 구분되고, 상대론과 양자역학은 연속의 변화와 불연속의 변화로만 구분됩니다.

그 외의 공리는 다 같다는 것이죠. 그럼 왜 그것만 다른 걸까요? 그 다른 공준이 바로 서로 같은 공리와는 차원이 더 낮은 하위개념이기 때문에

같을 수가 없는 겁니다. 쉽게 말해서 현상적이기 때문이죠. 그리고 결국 불완전성 정리의 그 체계내의 무모순성을 증명할 수 없다는 것도

위의 설명에 포함 되어 있는 것과 마찬가지므로 설명을 생략해도 될 것 같습니다.

결국 저는 5차원이 바로 이런 모순이 공존할 수 있는 체계라고 했었죠.

갈루아의 군론에서 5차 방정식의 일반해가 없는 것도 바로 5차원이 더 이상 일반적이게 만들 수 없는 체계이기 때문이고 말이죠.